James Gleick - Chaos: vznik novej vedy, 1984-86 1. kap. Motyli efekt Pocasie: Edward Lorenz robil na pocitaci simulovane pocasie. Raz si to chcel skratit tak zadal pociatocne podmienky podla starsich dat. Miesto toho aby to pokracovalo presne tak ako predtym, po par cykloch sa zacalo pocasie odchylovat az bolo uplne ine. Problem bol v tom, ze pocitac ratal s 6 desatinnymi miestami a on zadal cisla len s 3 desatinnymi cisla, ktore mal na papieri. - sposobil to tzv. motyly efekt - s pociatku pracoval s 12 deterministickymi rovnicami popisujucimi pocasie, neskor to zjednodusil len na 3 rovnice - rovnicu maximalne zjednodusil, no chaos ostal. dx/dt=10(y-x) dy/dt=xz+28x-y dz/dt=xy-(8/3)z Konvekcia: v nadobe s rovnym dnom a vieckom - prudenie sa riadi zmenou teploty medzi horucim spodkom a chladnym vrchom - pri malom rozdiele je pokoj - teplota sa siri ako v kovovej tyci - pri vacsom rozdiele - kvapalina sa zacne rozpinat, prekona trenie a ide hore, opacnym smerom ide chladna voda - vznikaju valce - zvacsena teplota - valce sa zacinaju vlnit - nasleduje turbulencia Lorenzovo vodne koleso: mechanicka obdoba konvekcie - na kolese su derave nadoby na vodu, zvrchu rovnomerne prudi voda, z nadob rovnomerne odteka. - pri malom mnozstve stihne voda odtiect skor ako vaha prekona trenie - pri vacsom prude sa da do pohybu a koleso sa zacne otacat rovnomerne - pri dalsom zvacsovani prudu sa zrychli otacanie az dosiahne rychlost pri ktorej sa nestacia nadoby dostatocne naplnit a rychlost sa spomali az sa otoci na druhu stranu - z dlhodobeho hladiska sa moze smer otocit mnoho krat a nedosiahne rovnovazny stav a nikdy sa predpovedatelne neopakuje - system popisuju 3 rovnice o 3 premennych. Po zapise do 3D grafu vznikne nieco ako motylie kridla - tzv Lorenzov atraktor - system sa nikdy neopakuje a predsa nikdy nevyboci zo svojho tvaru. 2. kap. Revolucia hracky: - vesmirne teleso/trapeza - dvojica gulocok umiestnenych na konci tycky ktora je horna: priecka pismena T, dole je tazsia gulicka - dolna gulicka kmita, horna tycka sa volne otaca. Gulicky maju male magnety, na podstavci je elektromagnet na baterie, ktory po probilzeni udeli impulz. Niekedy je pohyb rytmicky, inokedy chaoticky - sfericke kyvadlo - moze sa pohybovat v lubovolnom smere. Dole ma magnetky - uz pri 3 magnetkach usporiadanych do trojuholnika sa pohyb neda predpovedat - kazdej sa prideli farba, vzdy sa zapise z ktoreho miesta to zastalo pri ktorej magnetke. Vzniknu 3 farebne polia. Na rozhrani dvoch farieb sa vzdy objavi aj tretia, pri akomkolvek priblizeni je tam kde su dve farby aj farba tretia. Poincare - na prelome storoci pouzival pri studiu zakonov pohybu geometricku predstavivost Steve Smale - matematik - mal hypotezu ze system sa moze chovat nahodne, ale nahodne chovanie nemoze byt stabilne, pre kazdy chaoticky system mozno najst system ktory je lubovolne blizkou aproximaciou - van Polova trubica - obycajna trubica - mozno ju sledovat na oscilatore - mozn sledovat zmeny a prechody frekvencii - topologia - okamih je bod vo fazovom priestore - jeho suradnice obsahuju vsetky informacie o pohybe a rychlosti - takze mozno sledovat vyvoj v case - kde to smeruje - k bodu, k cyklu, slucke alebo inemu atraktoru - Smaleova podkova - priestor sa slaci a natiahne, potom sa prehne a zlozi ako listkove cesto takze 2 body co boli pri sbebe sa vzdialia, tie co su pri sebe mohli byt lubovolne daleko Philip Marcus - astronom, aplikovana matematika - skvrna na Jupiteri - stabilna skvrna - vir v atmosfere - stabilny chaos - je zahada co ho drzi pri zivote - je to system s autonomnou organizaciou, ktoru vytvara a riadi ta ista nelinearita, ktora vytvara nepedvidatelnu zmes okolo 3. kap. Rytmus zivota ekologicka matematika - je jednoducha - pocita sa populacia niektoreho roka ako funkcia roka predchadzajuceho - x(n+1)=F(xn) - hlavne linearne rovnice - xn+1=r.xn - jednoduchy rast populacie, ale treba uvazovat s obmedzenymi moznostami - pri urcitom mnozstve nastane nedostatok potravy - ma to za nasledok pokles - xn+1=r.xn.(1-xn) - bol predpoklad, ze populacia bude oscilovat okolo rovnovazneho stavu. No nemusi to tak byt. Biologov zaujimali len cisla ktore viedli k rovnovahe, ine ich nezaujimali Yames Yorke - matematik - dal chaosu meno - clanok perioda 3 znamena chaos - dostal Lorenzov clanok, obdivoval Smalea, tak mu poslal ten clanok so svojou adresou - vznikol dojem, ze on objavil Lorenza - zistil, ze ak sa v 1D systeme objavi perioda 3, budu tam pravidelne cykly a tiez chaoticke useky - jednoduche deterministicke systemy mozu obsahovat chaos - mala zmena paramentru nemusi znamenat hladky prechod do noveho rovnovazneho stavu, ale mozu nasledovat velke oscilacie - potvrdene pri spatnej analyze epidemii May - zacal ako fyzik, neskor biolog - chovanie populacie v case - zistil, ze ked parameter prekroci urcitu hranicu, system sa zmeni kvantitativne aj kvalitativne - zmena charakteru - rovnica xn+1=xn.(1-xn) - r=2,7 a x=0,6292 - populacia rastla (rovnovazny stav) - r=3 - rovnovazny stav osciloval na dvoch hodnotach (2-rocny cyklus populacie) - s rastom sa predlzoval cyklus - oscilacie sa delili (r=3,5, x=0,4 - prerioda 4) - na graf nanasal hodnotu parametra a populaciu - rozdvojene preriody - bifurkacie az nasleduje chaoticka oblast, postupne nasleduje okienko s periodou 3, preriodou 7 a nasobkami - po zvacseni grafu mozno objavit oblasti co sa podobaju celemu grafu 4. kap. Geometria prirody Benoit Mandelbrot - matematik - studoval rozdelenie velkych a malych ziskov v ekonomike - diagram 8 rocnych cyklov cien balvny sa podobal na jeho graf - podla ekonomov boli kratkodobe zmeny len sumom, vsimali si len dlhodobe zmeny a zistovali ich priciny - analyzoval stare data - zistil, ze krivky dennych a mesacnych zmien si zodpovedaju, stupen premenlivosti ostaval rovnaky bez ohladu na obdobie - prakticky problem - sum v telefonnych linkach vadil pri prenose dat - zistil, ze sum je nahodny ale vyskytuje sa v zhlukoch - vyvinul sposob popisu rozdelenia chyb, ktory presne zodpovedal pozorovanemu - obdobie delil na mensie useky - hodina presla bez sumu v dalsej uz bol - tuto hodinu rozdelil a zase bol usek bez sumu a usek so sumom ...- v akomkolvek kratkom useku je usek bez sumu - zistil pevny geometricky vztah medzi nahromadenim chyb a nenarusenymi oblastami - zaplavy v Egypte - Jozefov efekt - tendencia k ustalenemu stavu - Noemov efekt - nespojitost - ked sa velicina zmeni, zmeni sa lubovolnou rychlostou - tieto tendencie sa navzajom ovplyvnuju - fraktal - dal mu meno - z lat. fractus - od slovesa frangere (zlomit) Cantorova mnozina - z usecky 0 - 1 oddelime prostrednu tretinu a tak dalej - vznikne nekonecne vela bodov v zhlukoch ale s nekonecne malou hustotou fraktalove pobrezie - pri urcitej mierke ma nejaky obvod, pri blizsom skumani sa obvod zvacsuje az bude mat nekonecnu dlzku dimenzie - klbko povrazu - zdaleka je to len bod - 0D - z mensej vzdialenosti je to gula - 3D - z blizka je to povraz - 1D ... - zlomkove dimenzie - miera drsnosti, nerovnosti alebo nepravidelnosti - v roznych meritkach ostava rovnaka Kochova krivka - trojuholnik so stranou 1, na kazdej strane sa prida dalsi trojuholnim so stranou 1/3 a tak dalej - vznikne nekonecne dlhy obvod, pricom obsah je mensi ako obsah kruhu opisaneho okolo objektu - nekonecne dlha krivka v ohranicenom priestore ktora sa nepretina - fraktalova dimenzia 1,2618 - menej ako rovina 2D, viac ako priamka 1D Sierpinskeho koberec - zo stvorca sa vyberie prostredny stvorec atd Sierpinskeho tesnenie - to iste s trojuholnikom Mengerova huba - to iste v 3D - kocka fraktalove su - cievy, pluca, oblaky, vylucovacia sustava, srdcove systemy - je mozny jednoduchy zapis tvaru Christopher Scholz - zemetrasenie, tvar a struktura pevneho zemskeho povrchu - vedelo sa ze rozdelenie velkych a malych zemetraseni ma urcitu strukturu - vsade - fraktalove dimenzie sa aplikovali na rozne povrchy - vsade je zavislost od meritka - z dialky je povrch s oblukmi, z blizsia moze byt rovny, z blizka vidno trhliny a diery ... az po jednotlive prvky - zemetrasenie - fyzika zemetrasenia je nezavisla od meritka - velke je zvacseninou maleho 5. kap. Podivne atraktory turbulencia - plynule prudenie sa rozpada na kotuce a viry, energia sa rychlo stahuje z pohybov velkych meritok k pohybom malych meritok - chaoticke javy vsetkych meritok, nestabilny jav Lev D. Landau - rusky fyzik - turbulencia je hromadenie navzajom si konkurujich rytmov fazovy prechod - nahla zmena vlastnosti - lad na tekutinu, ta na paru, magnet na nemagnet, tekuty na supratekuty, vodic na supravodic a naopak - navzajom sa podobaju - pri zrychlovani pohybu tekutin tiez nastava nieco take - bifurkacie - nemeni sa sice samotna latka, len nastava pohyb Swinney - spolu s Gollubom sledovali kvapalinu medzi dvoma vertikalne postavenymi valcami - vnutorny valec sa otaca - valceky vody sa tocia okolo a pomaly stupaju - valceky vody sledovali laserom - nasli prechod fazy (zvysovani a znizovanim rychlosti) - pri dalsom fazovom prechode zacalo chaoticke chovanie, ziadna nova frekvencia prisiel k nim David Ruelle - belgican - teoria s ohybanim priestoru - miesto hromadenia frekvencii vznika zlozitost turbulencie z 3 nezavislych pohybov - vznikol pojem podivny atraktor fazovy priestor - udaje o dynamickom systeme sa redukuju na bod, pri zmene v case sa bod premiestni - vidno celu jeho historiu - v normalnom systeme s 2 premennymi to mozno zakreslit v 2D atraktor je bod do ktoreho system smeruje - atract - pritahovat - rovnovazny bod - pre kazdu premennu, stupen volnosti, treba 1 dimenziu - takze moze ich byt vela - neda sa potom popisat - 3D atraktor mozno redukovat pomocou Poincareho map - atraktorom vedieme rez cim odstranime jednu dimenziu - vznikne 2D podivny atraktor - krivka vo fazovom priestore ktora sa nikdy nepretina, je fraktalova, na obmedzenom priestore - neda sa predpovedat v ktorom bode bude v daktorom okamihu system ale bude tam 6. kap. Univerzalita Wilson - teoria renormalizacne grupy -prepocty veliciny akoby nebola stala (napr. hmotnost, dlzka) - zavislost na meritku mala pravidla, nebola nahodna - podobne ako fraktalova dimenzia farba - Newton - farba je svetlo urcitej vlnovej dlzky - Goethe - farba je zalezitost vnimania - svetlo ma svoju vahu a protivahu, priroda osciluje v predpisanych medziach - na zaklade experimentov tvrdil ze pricinou vzniku farieb je vzajomne posobenie svetla a tiena Mitchell Feigenbaum - fyzik - pri skumani zdvojovania period to pocital na kalkulacke - kym prisiel vysledok tak ho hadal Neskor prisiel na to ze hadat nemusi. Bola tam geometricka konvergencia. Konvergencny koeficient vypocital - 4,669 - nebol to nasobok ziadnej konstanty - skusil to na inej rovnici xt+1=r.sin(xt) a vyslomu 4,669, presnejsie 4,6692016090 - studoval atraktory - objavil univerzalitu a dal k tomu teoriu - meritkova strukturacia - v akom vztahu su velke detaily k malym 7. kap. Experimentator Albert Libchaber - fyzik experimentator - krabicka s heliom - nadrzka s kvapalnym heliom uzavreta v puzdre s vaukom aby sa zabranilo vibraciam v kvapalnom dusiku aby sa stabilizovala teplota - v nadrzke zohrieval spodnu dosticku, teplotu meral hore a dolu zafirovymi bolometrami - pouzil kvapalne helium lebo ma nizku viskozitu - staci maly inpulz na pohyb, na vyvolanie konvekcie v tej malej bunke stacil rozdiel tisiciny stupna - tvar navrhol tak aby obmedzil pohyb - len hore a dolu - pri zahrievani sa prejavi prva bifurkacia - teplotny rozdiel sposobi pohyb. Tepla tekutina stupa, na jej miesto ide chladna zhora, dostanu sa do valceka a pohyb sa ustali, je rovnomerny - zmeny teploty zaznamenal na spektralny graf aby mohol vidiet hlavne frekvencie - prva frekvencia mala vlnovu dlzku 2 sekundy, nasledujuca bifurkacia priniesla zmenu neparne cykly mali o nieco vyssiu teplotu, parne nizsiu - takze graf mal dve maxima a dve minima - presne v polovici frekvencie sa objavila dalsia - opakovalo sa to kazde 4 sekundy - dalsia bifurkacie prinasali stvrtiny, osminy, ... - potvrzdovalo to Feigenbaumovu teoriu - predpoveda kde sa nove frekvencie objavia, aj ake budu vyrazne - spojila sa teoria s experimentom - bifurkacie sa prejavovali geometriou s presnou meritkovou strukturou Theodor Schwenk - pozoroval prirodu, rieky - citlivy chaos - vztah medzi silou a formou - vedel ze vnutri prudu je sekundarny prud akolo riecnej osi DŽAres Thomson - pozoroval kvapky - rozne tvary, vetvenia 8. kap. Obraz chaosu Michael Barnsley - matematik - dozvedel sa o zdovojani, univerzalite, ... - myslel si ze jednotlive cykly su sucastou nejakeho vacsieho fraktaloveho objektu - zameral sa na komplexnu rovinu - v ramci nej su realne cisla len priamkou uprostred - hral sa s chaosom a zistil, ze cim je objekt fraktalovejsi, tym ma jednoduchsie pravidla - zvolil si utvar co chcel reprodukovat - pomocou jednoduchych pravidiel kladol postupne jho male kopie az vznikol objekt - spora papradia obsahuje urcite mnozstvo informacii, ktore su kodom k jednej papradine - takze ma len obmedzene moznosti rastu komplexne cislo - realna a imaginarna cast udavaju adresu v 2D priestore cykly neprichadzaju zo vzduchoprazdna - su sucastou komplexnej roviny, objavia sa ked pretnu realnu priamku John Hubbard - matematik - ucil Newtonovu metodu riesenia rovnic - aproximaciou - zacne sa odhadom, potom sa rychlo spresnuje az po najdenie riesenia - zalezi od odhadu ktore riesenie najdeme ak ich je viac - odhad mozno znazornit geometricky - cisla ktore vedu k urcitemu rieseniu maju urcitu farbu - pri 3 korenoch rovnice ma plocha 3 farebne plochy - pri prechodoch medzi plochami je to zlozitejsie - medzi dvoma farebnymi plochami objavil farbu tretiu ... - takze ziadny bod nelezi na rozhrani iba dvoch farbieb, vzdy je tam aj tretia Benoit Mandelbrot - pozoroval take iste mnoziny - tie prechody su fraktalove - paradox ze k popisu celej mnoziny staci malo informacii - studoval Juliove mnoziny - rozne obrazky - niektore ako oblaciky, ine ako morske koniky, blesky - Juliova mnozina je bud suvisla alebo ma mracna - pri mracnach je kazdy bod oddeleny od ineho prazdnym priestorom - Mandelbrotova mnozina - suborom bodov na komplexnej rovine - bod bud patri do mnoziny, alebo nepatri - robi sa to testom kazdeho bodu - zoberie sa komplexne cislo a umocni na druhu, pripocita sa povodne a znova umocni - ak ide k nekonecnu, tak tam bod nepatri - ak je vysledok konecny tak patri (bod, krivka, chaoticky pohyb) - v 1D je to jednoduche - patria tam vsetky body na usecke od 0 po 1. V inych dimenziach je to zlozitejsie - pri zvacsovani sa prejavovala vnutorna podobnost - mnozina obsahovala hrube kopie seba samej, no ziadna cast s inou presne nesuhlasi - u Mandlebrotovej mnoziny je kazda molekula spojena vlaknom molekul s inymi z - z2 + c z=0, c=komplexne cislo na rozhrani je to zlozite, aby sa to urychlilo, tak ked je priebezna suma v realnom alebo imaginarnom vacsia alebo rovna ako 2, resp. -2, ide k nekonecnu, inak patri do mnoziny farby mozno rozdelit podla poctu opakovani Chaoticke chovanie sa moze vyskytnut aj narozhrani dvoch stabilnych casti 9. kap. Kolektiv pre vyskum dynamickych javov Kolektiv vznikol na fakulte Santa Cruz - Robert Stenton Shaw - student fyziky, doktorant supravodivosti (nikdy ho nedokoncil) - energia existuje na dvoch urovniach - v makroskopickom (normalnom) a mikroskopickom kde sa nahodne pohybuju atomy a energia je meratelna len v priemere ako teplota - dalsi - Farmer, Packard, Crutchfield - zabavali sa s analogovym pocitacom - na rozdiel od digitalneho sa neprepina v obvodoch 0/1 - ako spinace funguju rezistory a kondenzatory - programovalo sa pomocou volby elektrnickych suciastok a prepojenia kablov - dalo sa na nich simulovat technicke zariadenie - napr. pruzenie auta - Shaw na nom pozoroval obrazy vo fazovom priestore na osciloskope - aj Lorenzov atraktor - vdaka nepresnosti analogoveho pocitaca zistil citlivu zavislost na pociatocnych podmienkach - stacilo sa dotknut gombikov a obraz sa zmenil - atraktor nezmizol, len zmenil tvar, otacal sa, ohybal Lyapunenov exponent - ak je mensi ako 0 tak znamena rozpinanie - prilahle body sa oddelia - ak je vacsi ako 0 tak znamena zmrstovanie - ak je atraktor pevny bod tak je exponent zaporny - ak je atraktor periodicky tak jeden exponent sa rovna 0, ostatne su zaporne - podivny atraktor musi mat aspon jeden exponent kladny Wiliam Burke - studoval Einsteinove gravitacne vlny Edward A. Spiegel - poznal sa s Lorenzom, jeho atraktor si pustal na HiFi vezi - hladal naznaky nepravidelnosti v modeloch hviezdneho pohybu - priestorova turbulenicia - hviezdna arytmia informatika = matematika + filozofia lebo sa zaobera informaciou (jednotka bit) Claude Shanon - pri prenose dat sposobuje sum nahodnu chybu dat - redunancia - nadbytocnost - zbytocne informacie pre jasnu informaciu - pri beznej reci je sposobena vyznamom slov - text by bol zrozumitelny aj pri vynechani urcitych pismen - z toho tazia krizovky - vyskyt urcitych pismen je pravdepodobnejsi ako priemer, takisto nasledovanie pismen - vyuzivaju to kryptologovia - prud dat v beznom jazyku nie je uplne nahodny - kazdy bit je obmedzeny bitom predchadzajucim takze kazdy dalsi bit nesie o nieco menej informacii - cim je prud nahodnejsi, tym viac informacii nesie v kazdom dalsom bite entropia - podla dodatku 2. termodynamickeho zakona je tendenciou kazdeho izolovaneho systemu prechod k narastajucemu chaosu - miesanie, chaos, nahodnost podivne atraktory vytvarali nepredvidatelnost, zvysovali entropiu - takze vytvorili informciu tam kde nebola 10. kap. Vnutorne rytmy Bernardo Huberman - fyzik - tikave pohyby u schizofrenikov - pri pohlade na pohybujuci sa obraz pozerajutrhane pod alebo nad ciel - zostavil jednoduchy model oka - nieco ako gulicka v zakrivenom zlabe ktory sa hybe sem a tam, pri simulacii nasiel poriadok aj chaos - v niektorych rezimoch bola porucha nerozozonanelna od tej v lekarskej literature - takze pricina nie je vonku, zalezalo ako silna je nelinearita v systeme srdce - za normalnych okolnosti je periodicke, vnutry srdca prebiehaju rozne viry a turbulencie krvi - fibrilujuce srdce - miesto aby sa srdce stiahlo a relaxovalo atd. sa len nekontrolovatelne zmieta - v normalnom srdci sa elektricky signal siri vo forme 3D koordinovanej vlny, ked signal dojde na koniec vsetky bunky sa staihnu, potom kazda z buniek po urcitu dobu ked nemoze nastat stah relaxuje. Vo fibrilujucom srdci dochadza k naruseniu vlny, srdce nikdy nekontrahuje ani nerelaxuje cele - pritom niektore casti funguju normalne - ganglie udavajuce rytmus srdca vysielaju signaly, svalove bunky reaguju normalne - kazda bunka obdrzi signal, kontrahuje, posle signal dalej a relaxuje - stav chaosu, fibrilacie, je staly - bez vonkajsieho impulzu sam neprestane, pomoze len elektricky sok z defibrilatora Winfore - biolog a matematik - studoval biorytmy komarov - v laboratoriu mali 23 hodinovy cyklus - skumal zmeny rytmu - zistil, ze existuje bod ked sa biologicke hodiny zrutia - pri presne nacasovanej davke svetla sa jeho hodiny zrutili - komar chvilu bzucal, chvilu driemal, vsetko nahodne - podobne ludia - ich teplotny rytmus ma 25 hodin, po dlhsej dobe sa oddeli spankovy rytmus od teplotneho a sprava sa nahodne - ludia spia napr. 20 - 30 hodin bez toho aby to zistili Leon Glass, Michael Guevara, Alvin Schrier - pouzili zhluky buniek srdca z kuracich embrii - ked ich dali dokopy zacali sami od seba pulzovat bez vonkajsieho rytmu - tieto bunky stimulovali pomocou mikroelektrody zavedenej do jednej bunky - medzi podnetom a kuskom srdca mohli zistit rozne rytmy - zistilo sa ze srdcova aktivita je jednym zo systemov kde dochadza k chaotickemu chovaniu nelinearita sluzi k regulacii systemu - ked dodame impulz linearnemu systemu, ostane vychyleny, kym nelinearny sa vrati k rovnovaznemu stavu dosiahnutie rovnovahy znamena v biologii smrt - ale matematicka "choroba" chaos znamena zivot synchronizacia kmitov - koordinacia jedneho kmitajuceho systemu s druhym - napr.: - pomer rychlosti rotacie vesmirnych telies k ich orbitalnej periode je vyjadrena nejakym celym cislom - takze mesiac je stale otoceny k zemi - mozno naladit radio, sychronizacia kyvadiel zavesenych na jednom dreve, ... - vdaka synchronizycii mozu skupiny oscilatorov spolupracovat 11. doplnok fraktal = fractal, nelinearny = nonlinear, turbulencia = turbulence, konvekcia = convection vyklad Lorenza - The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos and strange attractors (1982) biblia chaosu - The fractal geometry of nature (1977) The beauty of fractals